在数学中，一元二次不等式是一种常见的代数问题。它通常以形如 \( ax^2 + bx + c > 0 \) 或 \( ax^2 + bx + c < 0 \) 的形式出现，其中 \( a \neq 0 \)。解决这类问题的关键在于理解其背后的原理和步骤。本文将详细介绍如何系统地解答一元二次不等式。

第一步：确定方程的根

首先，我们需要找到对应的二次方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \) 的根。这可以通过公式法来实现：

\[

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

\]

这里需要注意的是，判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac \) 决定了根的性质：

- 如果 \( \Delta > 0 \)，方程有两个不同的实根；

- 如果 \( \Delta = 0 \)，方程有一个重根；

- 如果 \( \Delta < 0 \)，方程没有实根。

第二步：绘制函数图像

根据二次函数的性质，我们知道它的图像是一个抛物线。通过第一步得到的根，可以大致描绘出抛物线的位置。抛物线开口方向由系数 \( a \) 的符号决定：

- 若 \( a > 0 \)，抛物线开口向上；

- 若 \( a < 0 \)，抛物线开口向下。

第三步：分析区间符号

利用抛物线与横轴的交点（即根）划分出若干个区间。在每个区间内，观察函数值的正负情况。具体操作如下：

1. 在每个区间内任取一点，计算该点对应的函数值；

2. 判断函数值是否满足不等式的要求；

3. 将符合条件的区间记录下来。

第四步：写出最终答案

综合上述分析结果，明确不等式的解集。如果需要精确表示，则可以用区间或集合的形式表达。

示例

假设我们有不等式 \( x^2 - 5x + 6 > 0 \)。

1. 对应的二次方程为 \( x^2 - 5x + 6 = 0 \)，解得 \( x_1 = 2 \) 和 \( x_2 = 3 \)；

2. 抛物线开口向上，且与横轴相交于 \( x = 2 \) 和 \( x = 3 \)；

3. 分析发现，当 \( x < 2 \) 或 \( x > 3 \) 时，函数值大于零；

4. 因此，解集为 \( (-\infty, 2) \cup (3, +\infty) \)。

通过以上方法，我们可以有效地解决一元二次不等式的问题。希望这些步骤能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点！