核心结论 fx 可积指的是函数 fx 在指定区间上满足黎曼可积的条件，也就是这个函数在区间上可以求出定积分，积分结果是一个确定有限的数值，它代表函数在该区间整体的累积效果是收敛有限的，不会出现积分趋向无穷大或者积分震荡没有确定值的情况。fx 可积只代表定积分存在，并不代表函数连续，也不代表原函数一定可以用初等函数写出来，很多人很容易把可积和连续混淆，连续一定可积，但可积不一定连续，只要间断点数量有限并且有界，函数依旧可以满足 fx 可积。

一 fx 可积的核心判定条件

二 fx 可积相关重要辨析

第一点 fx 可积不等于原函数存在。有一类函数满足 fx 可积，但是不存在初等形式原函数，比如高斯积分函数，定积分可以算出数值，但是原函数不能用多项式三角函数对数这类初等表达式写出。

第二点 fx 可积不等于函数导数存在。可积是积分层面的性质，和微分求导是两套体系，fx 可以有间断点，自然在间断点处导数不存在，但是依旧满足 fx 可积。

第三点 fx 可积不等于变上限积分函数可导。变上限积分是连续的，但是只有当 fx 连续的时候，变上限积分才满足牛顿莱布尼茨公式并且可导，如果 fx 存在第一类间断点，变上限积分在该点连续但是不可导。

第四点 反常积分 fx 可积是另外一套概念，也就是广义可积，和普通黎曼可积不一样，反常积分允许函数无界或者区间无穷，依靠极限收敛来判定是否可积，做题的时候一定要区分普通黎曼可积和反常积分收敛。

三 判断 fx 可积的实操步骤

第一步 先确认积分区间，看是闭区间有限区间还是无穷区间或者瑕点区间，如果是无穷区间或者存在瑕点，就属于反常积分，不能直接套用普通黎曼可积判定定理。

第二步 检查函数 fx 在区间上是否有界，无界的普通定积分直接不满足黎曼可积必要条件。

第三步 观察函数连续性和间断点类型，统计间断点个数，判断是否属于有限个第一类间断点，或者函数单调有界。

第四步 如果不满足上面充分条件，就使用黎曼可积充要条件，也就是达布上和与达布下和，当区间分割无限加密的时候，上和的极限等于下和的极限，此时 fx 可积。

第五步 如果是反常积分，改用比较判别法极限判别法，判断极限是否收敛，收敛就代表广义意义下 fx 可积。

四 总结

fx 可积本质就是定积分存在并且结果有限，是积分学最基础的性质，做题核心就是分清普通黎曼可积和反常积分收敛，牢记连续必可积，可积必有界，但是可积不一定连续这个关键逻辑，不要混淆可积原函数存在求导这几个概念。

【常见问题】

问题 1 fx 可积是不是就说明 fx 是连续函数

回答 1 不是，fx 可积只要求函数有界并且间断点满足对应要求，存在有限个第一类间断点的函数依然可以 fx 可积，连续只是 fx 可积的充分条件，不是必要条件。

问题 2 如果 fx 无界还能不能 fx 可积

回答 2 普通黎曼积分里面 fx 无界就不能 fx 可积，但是如果是反常瑕积分，属于广义积分，依靠极限收敛判定，这种情况不属于普通意义的 fx 可积。

问题 3 fx 可积和原函数存在是同一个概念吗

回答 3 不是同一个概念，fx 可积是指定积分存在，原函数存在是存在一个函数导数等于 fx，fx 可积不代表一定存在初等原函数，原函数存在也不一定代表定积分可以直接套用牛顿莱布尼茨公式。

【免责申明】

本文内容为高等数学知识点科普讲解，仅用于学习参考，不构成任何考试答题标准答案，相关概念理解请结合教材定义自行核对。